vector Questionnaries

Frequently Asked Questions

• Example 3. If 𝟐𝐢+𝐣,𝐢−𝟑𝐣,𝟑𝐢+𝟐𝐣2i+j,i-3j,3i+2j and 𝐢+𝝀𝐣i+λj are ilion vectors of points 𝑨,𝑩,𝑪,𝑫A,B,C,D respectively and 𝑨𝑩∥𝑪𝑫AB∥CD, 𝝀λ is equal to

  उदाहरण 3. 𝑨,𝑩,𝑪,𝑫A,B,C,D बिन्दुओं के स्थिति सदिश क्रमशः 𝟐𝐢+𝐣2i+j, 𝐢−𝟑𝐣,𝟑𝐢+𝟐𝐣i-3j,3i+2j और 𝐢+𝝀𝐣i+λj हैं। यदि 𝐀𝐁∥𝑪𝑫AB∥CD तो 𝝀λ का मान है-

  AB=(i-3j)-(2i+j)=-i-4jCD=(i+λj)-(3i+2j)=-2i+(λ-2)j

  Now AB∥CD⇒-1-2=-4λ-2⇒λ=6

• Example 6. If 𝐚+𝐛,𝐚−𝐛a+b,a-b and 𝐚+𝒌𝐛a+kb are position vectors of three points, then these points will be collinear for
  (1) integral values of 𝒌k
  (3) no value of 𝒌k
  (2) all real values of 𝒉h
  (4) none of these [mr, 84]

  उदाहरण 6. यदि 𝐚+𝐛,𝐚−𝐛a+b,a-b तथा 𝐚+𝒌𝐛a+kb तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश हों, तो ये बिन्दु समरेख होंगे 𝒌k के-
  (1) केवल पूर्णांकीयंय मानों के लिए
  (2) सभी वास्तविक मानों के लिए
  (3) किसी मान के लिए नहीं
  (4) इनमें से कोई नहीं
  [IIT, 84]

  हल : यदि दिये गये बिन्दु A,B,C�हों, तो

  AB=(a-b)-(a+b)=-2bAC=(a+kb)-(a+b)=(k-1)b

  A,B,C�समरेख होंगे यदि AB∥AC�जो k�के सभी वास्तविक मानों के लिए संभव है ।
  2

• Example 7. If points 𝑨(𝟔𝟎𝐢+𝟑𝐣),𝑩(𝟒𝟎𝐢−𝟖𝐣)A(60i+3j),B(40i-8j) and 𝑪(𝒂𝐢−𝟓𝟐𝐣)C(ai-52j) are collinear, then a is equal to

  उदाहरण 7. यदि तीन बिन्दु 𝑨(𝟔𝟎𝐢+𝟑𝐣),𝑩(𝟒𝟎𝐢−𝟖𝐣)𝟕A(60i+3j),B(40i-8j)7 क्ष 𝑪(𝒂𝐢−𝟓𝟐𝐣)C(ai-52j) समरेख हों, तो 𝒂a का मान है-
  (1) 40
  (2) -40
  (3) 20
  (4) -20
  [IIT, 83; PET (Ra].), 91: MP, 2002; AMU, 2003; NDA, 2004]

  �हल :�AB =(40i-8j)-(60i+3j) =-20i-11j

  BC=(ai-52j)-(40i-8j)

  अब चूँकि A,B,C�समरेख है

  ?AB∥BC?-20a-40=-11-44?a=-40

• Example 8. If 𝟐𝐢−𝐣+𝐤,𝐢−𝟑𝐣−𝟓𝐤2i-j+k,i-3j-5k and 𝟑𝐢−𝟒𝐣−𝟒𝐤3i-4j-4k position vectors of the vertices of a triangle then this triangle is
  (1) equilateral
  (2) isosceles
  (3) right angled isosceles
  (4) right angled
  [EAMCET, 96]

  उदाहरण 8. सदिश 𝟐𝐢−𝐣+𝐤,𝐢−𝟑𝐣=𝟓𝐤2i-j+k,i-3j=5k तथा 𝟑𝐢−𝟒𝐣−𝟒𝐤3i-4j-4k किसी त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हों, तो वह त्रिभुज है-
  (1) समबाहु
  (2) सद्विबाहु
  (3) समकोणीय समद्विबाहु
  (4) समकोणीय [EAMCET,

  Sol. Let the given points be A,B,C�respectively. Then

  AB =-i-2j-6kBC =2i-j+kAC =i-3j-5k? AB =|AB|=1+4+36=41BC =|BC|=4+1+1=6AC =|AC|=1+9+25=35∵ BC2 +AC2=AB2

  ?A,B,C�are vertices of a right angled triangle.
  �

• Example 9. If 𝜶,𝜷α,β, rare unequal real numbers, then ree points with position vectors 𝜶𝐢+𝜷𝐣+𝜸𝐤,𝜷𝐢+𝜸𝐣+𝜶𝐤αi+βj+γk,βi+γj+αk ,𝜸𝐢+𝜶𝐣+𝜷𝐤γi+αj+βk will be
  (1) collinear
  (2) vertices of an equilateral triangle
  (3) vertices of an isosceles triangle
  (4) vertices of a right angled triangle
  उदाहरण 9. यदि 𝜶,𝜷,𝜸α,β,γ असमान वास्तविक संख्याएँ हों, तो तोन बिन्दु जिनके स्थिति सदिश 𝜶𝐢+𝜷𝐣+𝜸𝐤,𝜷𝐢+𝜸𝐣+𝜶𝐤.𝜸𝐢+𝜶𝐣+𝟑𝐤αi+βj+γk,βi+γj+αk.γi+αj+3k हैं, होंगे-
  (1) समरेख
  (2) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष
  (3) समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष
  (4) समकोण त्रिभज के शीर्ष

  Sol. If the given points be A,B,C�respectively, then

  |AB|=(?-?)2+(?-?)2+(?-?)2 |BC|=(?-?)2+(?-?)2+(?-?)2 |AC|=(?-?)2+(?-?)2+(?-?)2∵AB=BC=AC

  ?�given points are vertices of an equilateral triangle.

• Example 10. If 𝑶O and 𝑶′O^′ are circumcentre and orthocentre of a triangle 𝑨𝑩𝑪ABC, then 𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑪(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗ is equal to

  उदाहरण 10. यदि 𝑶O तथा 𝑶′O^′ किसी त्रिभुज 𝑨𝑩𝑪ABC के परिकेन तै लम्बकेन्द्र हों, तो 𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑪(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗ बराबर है-
  (1) 𝟐𝑶𝑶2(OO) ⃗ '
  (2) 𝑶𝑶(OO) ⃗
  (3) 𝟑𝑶𝑶3(OO) ⃗
  (4) इनमें से कोई नहों

  Sol. Let D�be the midpoint of BC�and AE�be the perpendicular from A�on BC. Then orthocentre O'�lies on AE. Atso from geometry we know that

  2OD=AO' ?2OD=AO'OB+OC=2OD ? OB+OC=AO'

  Now

  ?OA+OB+OC=OA+AO?OA+OB+OC=OO'

• Example 11. If 𝐚a and 𝐛b are two non-zero, non-collinear vectors then 𝐚+𝐛a+b and 𝐚−𝐛a-b are
  (1) linearly dependent
  (2) linearly independent
  (3) collinear
  (4) none of these

  उदाहरण 11. यदि 𝒂a तथा 𝒃b दो अशून्य असमान्तर सदिश हैं, तो 𝐚+𝐛a+b तथा 𝐚−𝐛a-b हैं-
  (1) एकघाततः परतंत्र
  (2) एकाघाततः स्वतंत्र
  (3) समान्तर
  (4) इनमें से कोई नहीं [MP, 97]

  �

  �Sol. Let�x,y?k)=0x(a+b)+y(a-b)=0? (x+y)a+(x-y)b=0

  Now since a�and b�are non-zero and non-collinear vectors, in

  x+y=0�and�x-y=0

  which is possible only when x=0,y=0.
  Hence (a+b)�and (a-b)�are linearly independent vectors.

• Example 12. If 𝐚=𝐢+𝐣+𝐤,𝐛=𝟒𝐢+𝟑𝐣+𝟒𝐤a=i+j+k,b=4i+3j+4k and 𝐜=𝐢+𝜶𝐣+𝜷𝐤c=i+αj+βk are linearly dependent vectors and |𝐜|=𝟑|c|=√3, then

  उदाहरण 12. गदि 𝐚=𝐢+𝐣+𝐤,𝐛=𝟒𝐢+𝟑𝐣+𝟒𝐤a=i+j+k,b=4i+3j+4k तथा 𝐜=𝐢+𝜶𝐣+𝜷𝐤c=i+αj+βk एकघांततः परतंत्र सदिश हैं तथा |𝐜|=𝟑|c|=√3, तो-
  (1) 𝜶=𝟏,𝜷=−𝟏α=1,β=-1
  (2) 𝜶=𝟏,𝜷=±𝟏α=1,β=±1
  (3) 𝜶=−𝟏,𝜷=±𝟏α=-1,β=±1
  (4) 𝜶=±𝟏,𝜷=𝟏α=±1,β=1 [IIT, 98

  Sol. ∣�c ∣=3?1+?2+?2=3
  Since a, b, c are LD so there exist l,m�such that

  la+mb=c ?(l+4m)i+(l+3m)j+(l+4m)k=i+?j+?k ?l+4m=1=?�and�l+3m=?�Now putting�?=1�in (1), we get�1+?2+1=3??=�1 ? ?=�1,?=1

• Example 44. If 𝐚,𝐛,𝐜a,b,c are coplanar unit vectors, then [2a-b 𝟐𝐛−𝐜  𝟐𝐜−𝐚2b-c  2c-a ] is equal to

  उदाहरण 44. यदि 𝐚,𝐛,𝐜a,b,c इकाई समतलीय सदिश हैं तो

  [2a-b  2b-c     𝟐𝒄−𝒂]2c-a] बराबर है-
  (1) 0
  (2) 1
  (3) −𝟑-√3
  (4) 𝟑√3
  [IIT (Screening), 2000; Kerala (CEE), 2005

   

  �हल�:[2a-b2b-c2c-a] =(2a-b)?[(2b-c)�(2c-a)] =(2a-b)?[4b�c-2b�a-2c�c+c�a] =(2a-b)?(4b�c-2b�a+c�a) =8[abc]-4[aba]+2[aca]-4[bc]+2[bb]-[ba] =8[abc]-0+0-0+0-[abc] =7[abc] =0

• Example 46. If 𝐚a and 𝐛b are two unit vectors such thit 𝐚+𝟐𝐛a+2b and 𝟓𝐚−𝟒𝐛5a-4b are perpendicular to each other; then ant. between 𝐚a and 𝐛b is

  उदाहरण 46. यदि 𝐚a और 𝐛b ऐसे दो इकाई सदिश हैं कि सदिश 𝒂+𝟐𝒃a+2b तथा 𝟓𝒂−𝟒𝒃5a-4b एक दूसरे के लम्बवत् है, तो 𝒂a और 𝒃b के बोच का कोण होगा-
  (1) 𝟒𝟓∘〖45〗^∘
  (2) 𝟔𝟎∘〖60〗^∘
  (3) 𝐜𝐨𝐬−𝟏〖cos〗^(-1) (𝟏/𝟑)(1/3)
  (4) 𝐜𝐨𝐬−𝟏⁡(𝟐/𝟕)〖cos〗^(-1)⁡(2/7)
  [IIT (Screening), 2002]

  हल : a+2b�तथा 5a-4 b�लम्बवत् हैं ।

  ?(a+2b)?(5a-4b)=0?5a?a-4a?b+10b?a-8b?b=0?5|a|2+6a?b-8|b|2=0?5(1)+6a?b-8(1)=0?a?b=1/2

  a?b=b?a)

  यदि a�और b�के बोच का कोण ?�हो, तो

  cos⁡?=ab|a||b|=1/2(1)(1)=12??=60∘

• Example 47. If a, b, c are three non-coplanar vectors and 𝒑,𝒒,𝒓p,q,r are vectors defined as follows:

  𝒑=𝒃×𝒄[𝒂𝒃𝒄],𝒒=𝒄×𝒂[𝒂𝒃𝒄],𝒑=𝒂×𝒃[𝒂𝒃𝒄]p=(b×c)/([abc]),q=(c×a)/([abc]),p=(a×b)/([abc])

  then (𝒂+𝒃)⋅𝒑+(𝒃+𝒄)⋅𝒒+(𝒄+𝒂)⋅𝒓(a+b)⋅p+(b+c)⋅q+(c+a)⋅r is equal to

  उदाहरण 47. यदि 𝐚,𝐛,𝐜a,b,c तीन असमतलीय सदिश हैं तथा 𝐩,𝐪,𝐫p,q,r निम्न प्रकार परिभाषित सदिश हैं-

  𝒑=𝒃×𝒄[𝒂𝒃𝒄],𝒒=𝒄×𝒂[𝒂𝒃𝒄]𝐩̸=𝒂×𝒃[𝒂𝒃𝒄]p=(b×c)/([abc]),q=(c×a)/([abc]) p̸=(a×b)/([abc])

  तो (𝐚+𝐛)⋅𝐩+(𝐛+𝐜)⋅𝐪+(𝐜+𝐚)⋅𝐫(a+b)⋅p+(b+c)⋅q+(c+a)⋅r बराबर है-
  (1) 0
  (2) 1
  (3) 2
  (4) 3
  [IT, 88; Bihar (CEE), 96; CET (Pb), 2000;
  UPSEAT, 2000; AMU, 2002]

  Sol.

  �Exp.� = (a+b)?b�c[abc] = a?b�c[abc]+b?b�c[abc]�(by distributivity)� = [abc][abc]+ [bbc][abc] =?1+ 0=3

• Example 48. Let 𝒂,𝒃,𝒄a,b,c be three vectors of magnitude 1,1 and 2 respectively. If 𝒂×(𝒂×𝒄)+𝒃=𝟎a×(a×c)+b=0, then the acute angle between 𝒂a and 𝒄c is

  उदाहरण 48. मानलो 𝒂,𝒃;𝒄a,b;c क्रमश: 1,1 तथा 2 मापांक के सदिश हैं। यदि 𝐚×(𝐚×𝐜)+𝐛=𝟎a×(a×c)+b=0, तो 𝐚a और 𝒄c के मध्य न्यून कोण होगा-
  (1) 𝝅/𝟑π/3
  (3) 𝝅/𝟔π/6
  (2) 𝝅/𝟒π/4

  (4) इनमें से कोई नहीं

  दिया है |a|=1,|b|=1,|c|=2
  यदि a�और c�के बीच का कोण ?�हो, तो

  a?c=|a||c|cos⁡?=2?cos⁡?

  अब दिए गए संबंध में विस्तार सूत्र का प्रयोग करने पर

  (a?c)a-(a?a)c+b=0? (2cos⁡?)a-(1)c=-b?[(2cos⁡?)a-c]2=(-b)2?4cos2⁡?a2+c2-2(2cos⁡?)(a?c)=b2?4cos2⁡?+4-8cos2⁡?=1?41-cos2⁡?=1?sin⁡?=1/2 �(1) तथा (2) से]�??=?/6

• Example 49. Let 𝐩,𝐪,𝐫p,q,r be three mutually perpendicular vectors of the same magnitude. If a vector 𝐱x satisfies the equation

   𝒑×[(𝒙−𝒒)×𝒑]+𝒒×[(𝒙−𝒓)×𝒒]+𝒓×[(𝒙−𝒑)×𝒓]=𝟎p×[(x-q)×p]+q×[(x-r)×q]+r×[(x-p)×r]=0 then 𝒙x is given by

  उदाहरण (49. मानलो 𝐩,𝐪,𝐫p,q,r तीन समान मापांक के परस्पर लम्बवत सदिश हैं। यदि एक सदिश 𝐱x निम्न समीकरण संतुए करता है :

  𝐩×[(𝐱−𝐪)×𝐩]+𝐪×[(𝐱−𝐫)×𝐪]+𝐫×[(𝐱−𝐩)×𝐫]=𝟎p×[(x-q)×p]+q×[(x-r)×q]+r×[(x-p)×r]=0

  तो 𝒙x बराबर है-
  (1) 𝟏𝟐(𝐩+𝐪−𝟐𝐫)1/2(p+q-2r)
  (2) 𝟏𝟐(𝐩+𝐪+𝐫)1/2(p+q+r)
  (3) 𝟏𝟑(𝐩+𝐪+𝐫)1/3(p+q+r)
  (4) 𝟏𝟑(𝟐𝐩+𝐪−𝐫)1/3(2p+q-r)

  हल: p2=q2=r2=a2�(मानलो)

  p?q=q?r=r?p=0

  अब ?p�[(x-q)�p]

  =?(p?p)(x-q)-?[p?(x-q)]p =?a2(x-q)-?(p?x)p =a2[3x-(p+q+r)]-??(p?x)p

  [∵p?q?=0]

  परन्तु यदि x=?p+?q+?r, तो

  p?x=?a2+0+0=?a2

  [(1) तथा (2) से]

  ? ? =1a2(p?x)? x =?1a2(p?x)p=1a2?(p?x)p? a2x =?(p?x)p

  अब दिए गए समीकरण में (3) तथा (4) के मानों का प्रयोग करने पर

  a2[3x-(p+q+r)]-a2x=0?x=12(p+q+r)

• Let 𝐚=𝟐𝐢+𝐣−𝟐𝐤a=2i+j-2k and 𝐛=𝐢+𝐣b=i+j. If 𝐜c is 𝒂a vector such that 𝐚⋅𝐜=|𝐜|,|𝐜−𝐚|=𝟐𝟐a⋅c=|c|,|c-a|=2√2 and the angle between 𝐚×𝐛a×b and 𝐜c is 𝟑𝟎∘〖30〗^∘, then 𝟏(𝐚×𝐛)×𝐜∣1(a×b)×c∣ is equal to

  . मानलो 𝐚=𝟐𝐢+𝐣−𝟐𝐤a=2i+j-2k तथा 𝐛=𝐢+𝐣b=i+j. यदि 𝐜c एक ऐसा सदिश है कि 𝐚⋅𝐜=|𝐜|,|𝐜−𝐚|=𝟐𝟐a⋅c=|c|,|c-a|=2√2 तथा (𝐚×𝐛)(a×b) गुं 𝐜c का मध्यकोण 𝟑𝟎∘〖30〗^∘ है, तो। (𝐚×𝐛)×𝐜∣(a×b)×c∣ बराबर है-
  (1) 𝟐/𝟑2/3
  (2) 𝟑/𝟐3/2
  (3) 2
  (4) 3 [IIT, 99]

  99]

  �हल :�a�b=ijk21-2110=2i-2j+k ? |a�b|=4+4+1=3�पुन:� |c-a|=22 ?|c-a|2=8?|c|2+|a|2-2c?a=8 ?|c|2+9-2|c|=8(∵c?a=|c|) ?(|c|-1)2=0 ?|c|=1

  अब |(a�b)�c|=|a�b||c|sin⁡30∘

  =(3)(1)(1/2)

  =3/2

• Example 51. Let 𝐚a and 𝐛b be two non-parallel unit vectors.

  If 𝐮=𝐚−(𝐚⋅𝐛)𝐛u=a-(a⋅b)b and 𝐯=𝐚×𝐛v=a×b, then |𝐯||v| is equal to

  उदाहरण 51. मानलो 𝐚a और 𝐛b दो असमान्तर इकाई सदिश हैं। यदि 𝐮=𝐚−(𝐚⋅𝐛)𝐛u=a-(a⋅b)b तथा 𝐯=𝐚×𝐛v=a×b तो। 𝐯∣v∣ बराबर है-
  (1) |𝐮|−∣|u|-∣ u.a ∣∣
  (2) |𝐮|+|𝐮⋅𝐚||u|+|u⋅a|
  (3) |𝐮|+|𝐮⋅𝐛||u|+|u⋅b|
  (4) |𝐮|+𝐮⋅(𝐚+𝐛)|u|+u⋅(a+b) [IIT, 99|

  हल : यदि a�एवं b�का मध्य कोण ?�हो, तो a?b=cos⁡?�एवं |a�b|=|v|=sin⁡?

  �अब� |u|2 =|a-(a?b)b|2=|a-bcos⁡?|2 =1+cos2⁡?-2(a?b)cos⁡? =1+cos2⁡?-2cos2⁡?=sin2⁡?? |u| =sin⁡?=|v|�पुन:� |u?b| =|[a-(a?b)b]?b|=|(a?b)-(a?b)|=0.|u?a| =|[a-(a?b)b]?a| =1-(a?b)2=1-cos2⁡?=sin2⁡?

• . A unit vector perpendicular to the vector 𝟓𝐢+𝟐𝐣+𝟔𝐤5i+2j+6k and coplanar to vectors 𝟐𝐢+𝐣+𝐤2i+j+k and 𝐢−𝐣+𝐤i-j+k is

  . सदिश 𝟓𝐢+𝟐𝐣+𝟔𝐤5i+2j+6k के लम्बवत् इकाई सदिश जो सदिश 𝟐𝒊+𝒋+𝒌2i+j+k तथा 𝒊−𝒋+𝒌i-j+k के समतलीय है, होगा-
  (1) 𝟑𝐣−𝐤𝟏𝟎(3j-k)/√10
  (2) 𝟐𝐢+𝟓𝐣𝟐𝟗(2i+5j)/√29
  (3) 𝟔𝐢−𝟓𝐤𝟔𝟏(6i-5k)/√61
  (4) 𝟐𝐢+𝟐𝐣−𝐤𝟑(2i+2j-k)/3
  [ITT (Screening), 2004]

  Sol. If given vectors be a,b,c�respectively, then required vector will be
  But =�a�(b�c)|a�(b�c)|

  �But� b�c=ijk2111-11=2i-j-3k�and�a�(b�c)=ijk5262-1-3=27j-9k |a�(b�c)|=729+81=910 ? �required vector�=�a�(b�c)|a�(b�c)|=�27j-9k910 =�(3j-k)10

• . Let 𝐚,𝐛,𝐜a,b,c be three non-zero vectors no two of them are collinear. If 𝐚+𝟐 𝐛a+2" " b is collinear to 𝐜c and 𝐛+𝟑𝐜b+3c is collinear to 𝐚a, then 𝐚+𝟐𝐛+𝟔𝐜a+2b+6c is collinear to

  . माना a, b, c तीन अशून्य सदिश हैं जिनमें कोई भी दो समरेखीय नहीं हैं यदि 𝐚+𝟐𝐛a+2b सदिश 𝐜c के समरेख तथा 𝐛+𝟑𝐜b+3c सदिश 𝐚a के समरेख हों तो 𝒂+𝟐𝒃+𝟔𝒄a+2b+6c है-
  (1) 𝒂a के समान्तर
  (2) 𝐛b के समान्तर
  (3) 𝐜c के समान्तर
  (4) 0 [AIEEE, 2002, 2004]

  a+2b=pc, जहाँ p,q?R

  b +3c=qa�अत:�a+2b+6c =(a+2b)+6c=pc+6c=(p+6)c�तथा�a+2b+6c =a+2(b+3c) =a+2qa=(1+2q)a

  (1) तथा (2) ?

  (p+6)c=(1+2q)a? (p+6)c-(1+2q)a=0

  परन्तु c�और a�समरेख नहीं हैं, अतः

  p+6=0�तथा�1+2q=0p=-6,q=-1/2

  तब a+2b=pc?a+2b+6c=0

• . Let 𝐚,𝐛,𝐜a,b,c be three non-zero vectors no two of them are collinear. If 𝐚+𝟐 𝐛a+2" " b is collinear to 𝐜c and 𝐛+𝟑𝐜b+3c is collinear to 𝐚a, then 𝐚+𝟐𝐛+𝟔𝐜a+2b+6c is collinear to

  . माना a, b, c तीन अशून्य सदिश हैं जिनमें कोई भी दो समरेखीय नहीं हैं यदि 𝐚+𝟐𝐛a+2b सदिश 𝐜c के समरेख तथा 𝐛+𝟑𝐜b+3c सदिश 𝐚a के समरेख हों तो 𝒂+𝟐𝒃+𝟔𝒄a+2b+6c है-
  (1) 𝒂a के समान्तर
  (2) 𝐛b के समान्तर
  (3) 𝐜c के समान्तर
  (4) 0 [AIEEE, 2002, 2004]

  a+2b=pc, जहाँ p,q?R

  b +3c=qa�अत:�a+2b+6c =(a+2b)+6c=pc+6c=(p+6)c�तथा�a+2b+6c =a+2(b+3c) =a+2qa=(1+2q)a

  (1) तथा (2) ?

  (p+6)c=(1+2q)a? (p+6)c-(1+2q)a=0

  परन्तु c�और a�समरेख नहीं हैं, अतः

  p+6=0�तथा�1+2q=0p=-6,q=-1/2

  तब a+2b=pc?a+2b+6c=0

• Example 61. If 𝐚=𝐢−𝐤,𝐛=𝒙𝐢+𝐣+(𝟏−𝒙)𝐤a=i-k,b=xi+j+(1-x)k and 𝐜=𝐢+𝒙𝐣+(𝟏+𝒙−𝒚)𝐤c=i+xj+(1+x-y)k, then [abc] depends on

  उदाहरण 61. यदि 𝐚=𝐢−𝐤,𝐛=𝒙𝐢+𝐣+(𝟏−𝒙)𝐤a=i-k,b=xi+j+(1-x)k तथा 𝐜=𝒚𝐢+𝒙𝐣+(𝟏+𝒙−𝒚)𝐤c=yi+xj+(1+x-y)k, तो [abc] निर्भर है-
  (1) only 𝒙x
  (3) neither 𝒙x nor 𝒚y
  (2) only 𝒚y
  (4) both 𝒙x and 𝒚y
  [IIT (Screening), 2001; ALEEE, 2005]

  �हल : [abc]�=10-1x11-xyx1+x-y=100x11yx1+x=(1+x)-?=1

  जो x�एवं y�दोनों से स्वतन्त्र है ।
  �

• . If 𝐮,𝐯,𝐰u,v,w are vectors such that 𝐮+𝐯+𝐰=𝟎u+v+w=0, |𝐮|=𝟑,|𝐯|=𝟒|u|=3,|v|=4 and ∣𝐰∣w, 𝐰∣=𝟓w∣=5, then 𝐮⋅𝐯+𝐯⋅𝐰+𝐰⋅𝐮u⋅v+v⋅w+w⋅u is equal

  उदाहरण 62. यदि 𝒖,𝒗,𝒘u,v,w ऐसे सदिश हैं कि 𝒖+𝒗+𝒘=𝟎u+v+w=0, |𝐮|=𝟑,|𝐯|=𝟒|u|=3,|v|=4 तथा |𝐰|=𝟓|w|=5, तो 𝐮⋅𝐯+𝐯⋅𝐰+𝐰⋅𝐮u⋅v+v⋅w+w⋅u बराबर है-
  (1) 0 .
  (2) 25
  (3) 47
  (4) -25
  [ITT, 95; CET (Pb), 98;, PET (Raj.), 2000; DCE, 2001; UPSEAT, 2002; ICS (Pre) 2004; (Kerala (CEE), 2005;
  AIEEE, 2005; Haryana (CEE), 2008]

  �हल :�u+v+w=0?|u+v+w|2=0?|u|2+|v|2+|w|2+2(u?v+u?w+w?u)=0?9+16+25+2(u?v+v?w+w?u)=0?u?v+v?w+w?u=-25

• Example 63. If 𝒂,𝒃,𝒄a,b,c are different non-negative number: and vectors 𝒂𝐢+𝒂𝐣+𝒄𝐤,𝐢+𝐤ai+aj+ck,i+k and 𝒄𝐢+𝒄𝐣+𝒃𝐤ci+cj+bk are coplanar then for 𝒂,𝒃a,b, the number 𝒄c is their

  उदाहरण 63. यदि 𝒂,𝒃,𝒄a,b,c विभित्र अत्रणात्मक संख्याएँ हैं, तथा सदिश 𝒂𝐢+𝒂𝐣+𝒄𝐤,𝐢+𝐤ai+aj+ck,i+k तथा 𝒄𝐢+𝒄𝐣+𝒃𝐤ci+cj+bk समतलीय हैं, तो 𝒂,𝒃a,b के लिए संख्या 𝒄c है उनका-
  (1) AM
  (2) 𝐎𝐌OM
  (3) 𝐇𝐌HM
  (4) इनमें से कोई नही

  Sol. Since given vectors are coplanar, so their box product zero.

  ?aac101ccb=0 ? c2+ac-ac-ab=0?c2=ab ? c�is GM of�a,b.