vector calculus Questionnaries

Frequently Asked Questions

• Ex. 7. Verify Gauss's Divergence theorem and show that :
  (गॉस प्रमेय को सत्यापित करते हुए दर्शाइये कि) :

  S F⋅nds=13a5, जहाँ F=x3-yzi-2x2yj+2k

  S is the surface of the cube bounded by the co-ordinate planes : ( S निम्न निर्देशांक समतलों द्वारा परिबद्ध घन का पृष्ठ है) :

  x=y=z=0; x=y=z=a                     

  [ Raj. B.Sc., 02, 04; Bikaner B.Sc., 04; Udaipur B.Sc., 05]

  Sol. यहां ∇⋅F=∂∂xx3-yz+∂∂y-2x2y+∂∂z(2)

  =3x2-2x2+0=x2∴ S  F⋅ndS =V  ∇⋅FdV=0a  0a  0a  x2dxdydz =0a  0a  x2dxdy[z]0a =a0a  x2dx[y]0a=a2x330a=13a5

• Ex. 6. If 𝑽V is the volume enclosed by any closed surface 𝑺S; show that: (यदि 𝑽V किसी भी बन्द पृष्ठ 𝑺S द्वारा परिबद्ध आयतन हो, तो सिद्ध कीजिए) :

  𝑺 𝑭⋅𝒏𝒅𝑺=𝟔𝑽, जहाँ 𝑭=𝒙𝒊+𝟐𝝌𝒋+𝟑𝒛𝒌∬130_S▒  F⋅n ˆdS=6V", जहाँ " F=xi ˙+2χj+3zk

  Sol. दिया है 𝑭=𝒙𝒊+𝟐𝒚𝒋+𝟑𝒛𝒌F=xi+2yj+3zk

  ?�𝛁?𝑭�=𝒊𝛛/𝛛𝒙+𝒋𝛛/𝛛𝒚+𝒌𝛛/𝛛𝒛?(𝒙𝒊+𝟐𝒚𝒋+𝟑𝒛𝒌)�=

  𝛛/𝛛𝒙(𝒙)+𝛛/𝛛𝒚(𝟐𝒚)+𝛛/𝛛𝒛(𝟑𝒛)�=𝟏+𝟐+𝟑=𝟔■(?□( ) ??F& =(i ?/?x+j ?/?y+k ?/?z)?(xi+2yj+3zk)@& =?/?x(x)+?/?y(2y)+?/?z(3z)@& =1+2+3=6)

  ?? गॉस प्रमेय द्वारा,

  ?𝑺 𝑭?𝒏𝒅𝑺=𝑽 (𝛁?𝑭)𝒅𝑽=𝑽 𝟔𝒅𝑽=𝟔𝑽??130_S▒  F?n�?dS=?130_V▒ (??F)dV=?130_V▒  6dV=6V

• Ex. 7. Verify Gauss's Divergence theorem and show that :
  (गॉस प्रमेय को सत्यापित करते हुए दर्शाइये कि) :

  𝑺 𝑭⋅𝒏𝒅𝒔=𝟏𝟑𝒂𝟓, जहाँ 𝑭=𝒙𝟑−𝒚𝒛𝒊−𝟐𝒙𝟐𝒚𝒋+𝟐𝒌∫130_S▒  F⋅n ˆds=1/3 a^5 ", जहाँ " F=(x^3-yz)i-2x^2 yj+2k

  𝑺S is the surface of the cube bounded by the co-ordinate planes : ( 𝑺S निम्न निर्देशांक समतलों द्वारा परिबद्ध घन का पृष्ठ है) :

  𝒙=𝒚=𝒛=𝟎; 𝒙=𝒚=𝒛=𝒂x=y=z=0;□( ) x=y=z=a

  [ Raj. B.Sc., 02, 04; Bikaner B.Sc., 04; Udaipur B.Sc., 05]

  Sol. यहां 𝛁?𝑭=𝛛𝛛𝒙𝒙𝟑?𝒚𝒛+𝛛𝛛𝒚?𝟐𝒙𝟐𝒚+𝛛𝛛𝒛(𝟐)??F=?/?x (x^3-yz)+?/?y (-2x^2 y)+?/?z(2)

  =𝟑𝒙𝟐?𝟐𝒙𝟐+𝟎=𝒙𝟐?�𝑺  𝑭?𝒏𝒅𝑺�=𝑽  𝛁?𝑭𝒅𝑽=𝟎𝒂  𝟎𝒂  𝟎𝒂  𝒙𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛�=𝟎𝒂  𝟎𝒂  𝒙𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚[𝒛]𝟎𝒂�=𝒂𝟎𝒂  𝒙𝟐𝒅𝒙[𝒚]𝟎𝒂=𝒂𝟐𝒙𝟑𝟑𝟎𝒂=𝟏𝟑𝒂𝟓■(&=3x^2-2x^2+0=x^2@?□( )?130_S▒  F?n�?dS& =?130_V▒  ??FdV=?130_0^a▒  ?130_0^a▒  ?130_0^a▒  x^2 dxdydz@& =?130_0^a▒  ?130_0^a▒  x^2 dxdy[z]_0^a@& =a?130_0^a▒  x^2 dx[y]_0^a=a^2 [x^3/3]_0^a=1/3 a^5 )

• . Surface Integral ( पृष्ठ या पृष्ठीय समाकल)

  किसी पृष्ठ पर ज्ञात किये गये समाकलन को पृष्ठीय समाकल कहते हैं। सर्वप्रथम एक संतत सदिश बिन्दु फलन F�के किसी क्षेत्र S�पर अभिलंबीय पृष्ठ समाकल की परिभाषा देंगे। हम पृष्ठ के किसी भाग S�को जो बन्द अथवा खुला हो, लेते हैं। अब S�को परिमित संख्या में उप पृष्ठों में विभाजित करेंगे और इनमें से किसी एक को लेंगे। इस उप पृष्ठ के क्षेत्रफल को हम ?s�से दर्शायेंगे। माना उप पृष्ठ में कोई बिन्दु P�है, जहां F�का मान Fp�है । मान लो बिन्दु P�पर S�की दिशा में, जिसे धनात्मक भी कहा जा सकता है, एक इकाई सदिश n�उपपृष्ठ के अभिलंब की दिशा में है। तब
  ?s=n?s�को हम उप पृष्ठ का सदिश क्षेत्रफल करेंगे। अब संकलन फलन ?Fp??s=?Fp?n?s�पर विचार करते हैं जहाँ कि संकलन उन सब उप पृष्ठ के लिए लिया गया है जिनमें S�को विभाजित किया गया था। यदि उप पृष्ठों की संख्या अनन्त की ओर अग्रसर हो तथा प्रत्येक उपपृष्ठ का क्षेत्रफल शून्य की ओर अग्रसर हो तो इस संकलन की सीमा को F�का पृष्ठ S�पर अभिलंबीय पृष्ठ समाकलन कहते हैं
  तथा इसे ?S F?dS=?S F?ndS�द्वारा दर्शाया जाता है।
  यदि पृष्ठ की दूसरी ओर समाकलन किया जाये तो केवल n�की दिशा बदल जायेगी अर्थात् समाकलन का केवल चिन्ह बदल जायेगा परन्तु परिमाण वही रहेगा।

•  Vólume Integral (आयतन समाकल) ?

  . V�lume Integral (आयतन समाकल) ?
  मान लीजिए F�कोई सतत् सदिश बिन्दु फलन है और किसी पृष्ठ से घिरे प्रदेश का आयतन V�है । इस प्रदेश V�को परिमित उप-प्रदेशों में विभक्त करेंगे तथा इनमें से किसी एक उपप्रदेश को लेंगे। माना इसका आयतन ?v�है तथा इस आयतन के किसी बिन्दु P�पर F�का मान Fp�है । अब संकलन फल ?Fp?V�पर विचार करेंगे जहां कि संकलन उन सब उप-प्रदेशों के लिये लिया गया है जिनमें V�को विभक्त किया गया था। अब यदि उप-प्रदेशों की संख्या अनन्त की ओर अग्रसर हो तथा प्रत्येक उप-प्रदेश का आयतन शून्य की ओर अग्रसर हो तो इस संकलन फलन की सीमा को F�का V�पर आयतन समाकल कहते हैं तथा इसे ?V FdV�द्वारा दर्शाते हैं।
  Cartesian form of Volume Integral (आयतन समाकल का कार्तीय रूप) :
  माना F(r)=F1i+F2j+F3k, जहाँ F1,F2,F3�क्रमशः x1,y1,z1�के फलन हैं तथा dV=dxdydz

  �अत:�V'  FdV = F1i+F2j+F3kdxdydz =i F1dxdydz+j F2dxdydz+k F3dxdydz

• Gauss's Divergence Theorem (गॉस का अपसरण प्रमेय)

  Gauss's Divergence Theorem (गॉस का अपसरण प्रमेय) : Statement :
  
  The normal surface integral of a function F over the boundary of a closed region is equal to the volume integral of div F taking throughout the region.
  (किसी सदिश फलन F का किसी बंद क्षेत्र की परिसीमा पर लिया गया अभिलम्बीय पृष्ठ समाकल उस क्षेत्र में सर्वः लिये गये div F के आयतन समाक्फल के बराबर होता है)
  If F is a continuously differentiable vector point function in a region V enclosed by the closed surface S, then :
  (यदि F किसी बन्द पृष्ठ S द्वारा घिरे हुये क्षेत्र V में सतत् अवकलनीय सदिश बिन्दु हों तो):
  where n is the unit outward drawn normal vector to the surface S.
  ( जहां n पृष्ठ S पर बाहम दिशा में खींचा गया इकाई अभिलम्ब सदिश है)

   

   

  S F⋅ndS=1( (∇⋅F)dV

  परिणाम (1) का कार्तीय रूप (Cartesian form) निम्र है :

  S  F1dydz+F2dzdx+F3dxdy =I'  ∂F1∂x+∂F2∂y+∂F3∂zdxdydz

  F1,F2 तथा F3 अक्षों के अनुदिश F के अदिश घटक हैं।

• Ex.1 Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :

  S F⋅ndS, जहाँ F=4xzi-y2j+yzk

  S is the surface of tle cube bounded by the planes :
  ( S उस घन का पृष्ठ है जो कि निम्र समतलों में परिबद्व हैं) :

  x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1

  = ??x(4xz)+??y-y2+??z(yz)dV = (4z-y)dV =01  01  01  (4z-y)dxdydz [∵dV=dxdydz] =01  01  2z2-yz01dxdy=01  01  (2-y)dxdy =01  2y-y2201dx=01  32dx=32x01=32 �Ans.�

• Ex. 2. Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :

  ,

  where S is the part of the sphere x2+y2+z2=1 above the xy plane.
  (जहाँ S, गोले  का वह पृष्ठ है जो xy समतल के ऊपर है)

  Sol. F=y2z2i+z2x2j+z2y2k

  ? ??F=??xy2z2+??yz2x2+??zz2y2=2zy2

  गॉस प्रमेय द्वारा,

  S  F?ndS =V  ??FdV =V  2zy2dxdydz

  Fig 4.3
  यहाँ गोला x2+y2+z2=1�का वह क्षेत्र है जो xy�समतल के ऊपर है अर्थात् अर्ध गोला xy�समतल के ऊपर वाला भाग है तथा x,y,z�के लिये समाकलन की सीमाएँ निम्न होंगी। पहले z�के सापेक्ष z=0�से z=1-x2-y2�तक समाकलन किया जायेगा। फिर y�के सापेक्ष y=-1-x2�से y=1-x2�तक तथा अन्त में x�के सापेक्ष x=-1�से x=1�तक।
  ?�अभीष्ट समाकल =2∭V zy2dxdydz

  =x=-11 -1-x21-x2 1-x2y2z201-x2-y2dxdy

  =?-11 ?-1-x21-x2 1-x2-y2y2dxdy =?-11 1-x2y33-y55-1-x21-x2dx =2?-11 1-x21-x23/23-1-x25/25dx =415?-11 1-x25/2dx =415?-?/2?/2 cos5⁡?cos⁡?d? �जहाँ�x=sin⁡? =815?0?/2 cos6⁡?d? =815?56?34?12??2=?12

• Ex. 3. Use Gauss's divergence theorem to show that :
  (गॉस प्रमेय की सहायता से प्रदर्शित कीजिए) :

  S (zdydz+ydzdx+zdxdy)=4πa3

  where the surface S is the sphere x2+y2+z2=a2.
  ( जहाँ सतह S, गोला x2+y2+z2=a2 है)
  [ Jodhpur B.Sc., 03; Ajmer B.Sc., 02; Raj. B.Sc., 01; (Hons.) 04 ]

  Sol. हम जानते हैं कि

  S  E1dydz+F2dzdx+F3dxdy =I'  ?F1?x+?F2?y+?F3?zdxdydz

  यहाँ F1=x,F2=y, तथा F3=z

  ??F1?x=1,?F2?y=1�तथा�?F3?z=1

  ?�समीकरण (1) द्वारा,

  =V  (1+1+1)dxdydz, सतह�S�से परिबद्ध, जहाँ�V�आयतन है� =3V  dxdydz=3�(गोले का आयतन )� =3?(4/3)?a3=4?a3 �Ans.�

• Ex.4.If V is the volume enclosed by any closed surface S; show that: (यदि V किसी बन्द पृष्ठ S द्वारा परिबद्ध आयतन हो, तो दर्शाइये कि) :
  (a) ∫S n⋅d S=0
  [Raj. B.Sc., (Hons.) 03]
  (b) ∫S (r×n)dS=0
  [Kota B.Sc., 04]
  (c) ∫S n⋅(∇×F)dS=0
  [Ajmer B.Sc., 02; Udaipur B.Sc., 01]
  (d) ∫S r⋅ndS=3V
  [Ajmer B.Sc., (Hons.) 04]

  Sol. (a) यदि F�कोई अचर सदिश राशि लें, तो

  F?S ndS=S F?ndS'

  [∵F�अचर सदिश राशि है। ]�गॉस प्रमेय द्वारा, ?S F?ndS=?T' ??FdV
  किन्तु

  ??F=i??x+j??y+k??z?F=0F?S  ndS=V  ??FdV=0

  या,
  ?S ndS=0 [∵F�अचर सदिश राशि है । ]
  Hence Proved.

  (b) यदि F�कोई अचर सदिश राशि ल, ता

  F?S  r�ndS =S  F?(r�n)dS = (F�r)?ndS�(सदिश एवं अदिश गुणनफलों को बदलने से)� =V  ??(F�r)dS�[गॉस प्रमेय द्वारा]�

  �किन्तु�??(F�r)=r?(?�F)⋯F?(?�r)=0

  Hence Proved.
  [∵?�F=0,∵F�अचर राशि है तथा ?�r=0]
  (1) से,
  F??S (r�n)dS=0
  या,

  S r�ndS=0

  Hence Proved
  गॉस प्रमेंय द्वारा,

  S n?(V�F)dS=1 ???(?�F)dl

  [⋯V?(V�F)=0

  �

• Ex. 6. If V is the volume enclosed by any closed surface S; show that: (यदि V किसी भी बन्द पृष्ठ S द्वारा परिबद्ध आयतन हो, तो सिद्ध कीजिए) :

  S F⋅ndS=6V, जहाँ F=xi+2yj+3zk

  [ Udaipur B.Sc., 04; Ajmer B.Sc. 03]

  Sol. दिया है F=xi+2yj+3zk

  ? ??F =i??x+j??y+k??z?(xi+2yj+3zk) =??x(x)+??y(2y)+??z(3z) =1+2+3=6

  ?�गॉस प्रमेय द्वारा,

  S F?ndS=V (??F)dV=V 6dV=6V

  Ans.

• Ex. 7. Verify Gauss's Divergence theorem and show that :
  (गॉस प्रमेय को सत्यापित करते हुए दर्शाइये कि) :

  S F⋅nds=13a5, जहाँ F=x3-yzi-2x2yj+2k

  S is the surface of the cube bounded by the co-ordinate planes : ( S निम्न निर्देशांक समतलों द्वारा परिबद्ध घन का पृष्ठ है) :

  x=y=z=0; x=y=z=a

  Sol. यहां ??F=??xx3-yz+??y-2x2y+??z(2)

  =3x2-2x2+0=x2? S  F?ndS =?  ??FdV=0a  0a  0a  x2dxdydz =0a  0a  x2dxdy[z]0a =a0a  x2dx[y]0a=a2x330a=13a5

  Ans.

• Ex. 8. Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :

  S F⋅ndS,  जहाँ F=xi+yj+z2k.

  where S is the closed surface bounded by the cone x2+y2=z2 and the plane z=1
  ( जहाँ S शंकु x2+y2=z2 तथा समतल z=1 से परिबद्ध बन्द पृष्ठ है)
  [ Jodhpur B.Sc., 02; Raj. B.Sc., (Hons.) 02 ]

  Ex. 8. Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :

  S F?ndS, �जहाँ�F=xi+yj+z2k.

  where S�is the closed surface bounded by the cone x2+y2=z2�and the plane z=1
  ( जहाँ S�शंकु x2+y2=z2�तथा समतल z=1�से परिबद्ध बन्द पृष्ठ है)
  [ Jodhpur B.Sc., 02; Raj. B.Sc., (Hons.) 02 ]
  Sol. यहाँ ??F=??x(x)+??y(y)+??zz2

  =1+1+2z=2(1+z)

  S  F?ndS =V  ??FdV =V  2(1+z)dV =2V  dV+2V  zdV =2V+2Vz, ∵z= zdVV,

  जहाँ V�दिये शंकु का आयतन है तथा z�दिए हुए शंकु के गुरूत्व केन्द्र G�(जो कि शंकु के अक्ष पर स्थित है ) की शीर्ष O�से दूरी y�है। दिये गये शंकु का आधार एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 तथा ऊंचाई भी 1 है।

  OG=3/4,V=(1/3)?12?1=?/3

  ? �अभीप्र समाकल =2V(1+z)

• 1. Apply Gauss Divergence theorem to evaluate:
     (गॉस प्रमेय का उपयोग करते हुए मान ज्ञात कीजिए) :

  S {(x+z)dydz+(y+z)dzdx+(x+y)dxdy}, 

  where S is the surface of the sphere x2+y2+z2=4
  (जहाँ S, गोले x2+y2+z2=4 का सम्पूर्ण पृष्ठ है)
• गॉॅस प्रमेय से दिया पृष्ठ समाकल

=V  ??x(x+z)+??y(y+z)+??z(x+y)dV =V  (1+1+0)dV=2V  dV =2V�(अायतन समाकल)� =243?(2)3=643? �(जहाँ�V�गोले का आयतन है)��Ans.�

(आयतन समाकल)
(जहाँ V�गोले का आयतन है)
Ans.